Hamilton

问题描述

13个人在有13个座位的圆桌上一起聚餐，要求每个人每天不与相同的人邻座，问最多可以聚几次餐（考虑哈密尔顿回路）

转化为图论问题

我们可以将这个问题转化为图论中的哈密尔顿回路问题：

1. 顶点：13个人，每个人是一个顶点。
2. 边：每次聚餐的座位安排，每条边连接两个相邻的人。

在完全图 $K_{13}$ 中，每个顶点（人）与其他所有顶点（人）都有一条边（可能成为邻座关系）。我们的目标是找到多条哈密尔顿回路，使得这些回路中的边（邻座关系）没有重复。

哈密尔顿回路

哈密尔顿回路是一条通过每个顶点一次且仅一次的闭合路径（即首尾相连）。在圆桌上，找到一条哈密尔顿回路相当于找到一个具体的座位安排。由于每次聚餐中座位安排都是圆桌的一种排列，且要求这些排列中的邻座关系不重复，我们需要找到不相交的哈密尔顿回路。

最大独立哈密尔顿回路数

对于一个 $n$ 顶点的完全图 $K_n$：

• 如果 $n$ 是奇数，则该图最多有 $\frac{n-1}{2}$条相互独立的哈密尔顿回路（每条边只在一个回路中出现一次）。
• 对于 $K_{13}$，$n=13$，所以最多有：$\frac{13-1}{2} = 6$条相互独立的哈密尔顿回路。

理解具体安排

在每条哈密尔顿回路中，每个顶点（人）都有特定的邻座安排。这些安排在每条不同的回路中都不会重复。例如：

• 回路1：1-2-3-…-13-1
• 回路2：1-3-5-…-13-2-4-…-12-1
• 等等

通过这种方式，每个回路都表示一种不同的座位安排，并且确保每个人在每次聚餐中都有不同的邻座。

结论

经过上述分析和计算，13个人在有13个座位的圆桌上聚餐，并且每个人每天不与相同的人邻座，最多可以聚6次餐。这是因为我们能够找到6条独立的哈密尔顿回路，每条回路代表一次不同的聚餐安排。